Plantilla Latex

Hola a todos:

Por cortesía de Tonali, aquí les dejo el código para realizar sus ejercicios en Latex. Copien y Peguen TODO.

Saludos, nos vemos en clase.


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\documentclass[12pt]{report}

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\usepackage{amsthm}

\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[spanish,mexico]{babel}
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\numberwithin{section}{chapter}

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\textwidth = 18cm
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\pagestyle{fancy}
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%AQUÍ VA EL NOMBRE
\fancyhead[RE,LO]{\bfseries{Tonali Jiménez}}

\fancyhead[LE,RO]{\bfseries{\today}}
\fancyfoot[RE,RO]{\bfseries{Cálculo Diferencial e Integral II}}
\fancyfoot[LE,LO]{\bfseries{Semestre 2017-2}}

\newenvironment{pba}{\noindent\textbf{Prueba:}}{\begin{flushright} $\square$ \end{flushright}}
\newenvironment{sol}{\noindent\textbf{Solución:}}{\begin{flushright} $\square$ \end{flushright}}
\newenvironment{dem}{\noindent\textbf{Demostración:}}{\begin{flushright} \rule{1ex}{1ex} \end{flushright}}

\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}

\begin{document}

\begin{description}

\item[Problema 13.] El criterio de integrabilidad (Teorema 2 del Capítulo 13 de Spivak) dice:

Sea $f: [a,b] \to \R$ una función acotada.

$f$ es integrable en $[a,b]$ si y solo si $ \forall \varepsilon >0$ existe $P_{\varepsilon}$ partición de $[a,b]$ tal que

$$U(f,P_\varepsilon)-L(f,P_\varepsilon) < \varepsilon$$

Usar este criterio para demostrar que cada una de las siguientes funciones es integrable en el intervalo cerrado indicado. Calcular la integral cuando sea posible.

\end{description}

\begin{enumerate}[a)]

\item $f(x)= 3x^{2}+1$, $ \forall x \in [0,1] $

\end{enumerate}

\begin{description}

\item[Solución:] 

\end{description}

\begin{eqnarray*}

f: [0,1] &\to& \R \\

x &\mapsto& 3x^2+1

\end{eqnarray*}

%%% OJO: AQUÍ ¿CUÁL ES EL PRIMER TÉRMINO DE LA PARTICIÓN?

Sea $\varepsilon > 0$ y $P= \left\{t_{i} \in \R \mid t_{i}=\frac{i(b-a)}{n}+a, \forall 1 \leq i \leq n \right\}$ una partición regular de $[a,b]$. 

%%% OJO: AQUÍ ¿CUÁL ES EL PRIMER TÉRMINO DE LA PARTICIÓN?

Para este caso, $a=0$ y $b=1$ por lo que la partición nos queda

$$ P= \left\{ t_{i}\in \mathbb{R} \mid t_{i}= \dfrac{i}{n},  \forall 1 \leq i \leq n \right\}$$

Notemos que:

\begin{description}

\item[Observación 1:] Tenemos que $\forall 1 \leq i \leq n$

\begin{eqnarray*}

A_{i} &=& \lbrace y\in\mathbb{R}\mid y=f(x), x\in[t_{i-1},t_{i}]\rbrace \\

&=& \lbrace y\in\mathbb{R}\mid y=3x^{2}+1, t_{i-1}\leq x \leq t_{i} \rbrace \\

&=& \lbrace y\in\mathbb{R}\mid y=3x^{2}+1, 3(t_{i-1})\leq 3x \leq 3(t_{i}) \rbrace \\

%%% EN EL CÁLCULO DE A_i, ¿Cómo pases de este renglón al siguiente?

&=& \lbrace y\in\mathbb{R}\mid y=3x^{2}+1, 3(t_{i-1})^{2}\leq 3x^{2} \leq 3(t_{i})^{2} \rbrace \\

&=& \lbrace y\in\mathbb{R}\mid y=3x^{2}+1, 3(t_{i-1})^{2}+1 \leq 3x^{2}+1 \leq 3(t_{i})^{2}+1 \rbrace \\

&=& [3(t_{i-1})^{2}+1, 3(t_{i})^{2}+1]

\end{eqnarray*}

Donde $ t_{i-1}=\dfrac{i-1}{n} $ y $ t_{i}=\dfrac{i}{n} $

%%% AQUÍ; puedes hacer la observación 1 o pasar directamente a lo que escribes a continuación

Entonces, como la función es creciente, %%% ¿por qué?

encontraremos el ínfimo y el supremo de la función en sus extremos; es decir, $\inf(A_{i})=3\left (\dfrac{i-1}{n}\right )^{2}+1 $ y $ \sup(A_{i})= 3\left (\dfrac{i}{n}\right)^{2}+1$

\end{description}

Ahora, calculemos $L(f,P)$ y $U(f,P)$:

\begin{eqnarray*}

L(f,p) &=& \sum_{i=1}^{n} \inf(A_{i})(t_{i} - t_{i-1}) = \sum_{i=1}^{n} \inf(A_{i})\left(\dfrac{i}{n} - \dfrac{i-1}{n}\right) \\

&=& \sum_{i=1}^{n} \inf(A_{i})\left(\dfrac{1}{n}\right) = \dfrac{1}{n} \left(\sum_{i=1}^{n} \inf(A_{i})\right) \\

&=& \dfrac{1}{n} [\sum_{i=1}^{n} 3(\dfrac{i-1}{n})^{2}+1] \\

&=& \dfrac{3}{n^{3}} [\sum_{i=1}^{n} (i-1)^{2}+1] \\

%%% ¡AQUÍ ESTA EL ERROR!, Factorisaste un tres mal, ¿no? A partir de aquí debes tener mucho cuidado con los paréntesis, pues hay muchos errores desde aquí...

&=& \dfrac{3}{n^{3}} [\sum_{i=1}^{n} (i-1)^{2}+1] \\

&=& \dfrac{3}{n^{3}} [\sum_{i=1}^{n} (i-1)^{2} + \sum_{i=1}^{n} 1] \\

&=& \dfrac{3}{n^{3}} [\sum_{i=1}^{n} (i-1)^{2} + n ] \\

&=& \dfrac{3}{n^{3}} [\sum_{j=0}^{n-1} j^{2} + n] \\

&=& \dfrac{3}{n^{3}} [\dfrac{(n-1)(n-1+1)(2(n-1)+1}{6} + n] \\

&=& \dfrac{3}{n^{3}} [\dfrac{(n-1)(n)(2n-1)}{6} + n] \\

&=& \dfrac{3}{n^{3}} [\dfrac{(n-1)(n)(2n-1)+6n}{6}] \\

&=& \dfrac{3[(n-1)(n)(2n-1)+6n]}{6n^{3}} \\

&=& \dfrac{3[(n^{2}-n)(2n-1)+6n]}{6n^{3}} \\

&=& \dfrac{3[(2n^{3}-n^{2}-2n^{2}+n+6n)]}{6n^{3}} \\

&=& \dfrac{3[(2n^{3}-3n^{2}+7n)]}{6n^{3}} \\

&=& \dfrac{6n^{3}-9n^{2}+21n}{6n^{3}}

\end{eqnarray*}

\end{document}

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