El sitio oficial del curso Cálculo Diferencial e Integral II (Grupo 4070) de la Facultad de Ciencias de la UNAM en el cíclo 2017-2
martes, 28 de febrero de 2017
Guía 01 - Problema 05.2d)
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G01P05.2d),
Guía 01,
Jessica Apanco
Guía 01 - Problema 05.1
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Guía 01,
Jessica Apanco
Guía 01 - Problema 04
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Guía 01,
Jessica Apanco
domingo, 26 de febrero de 2017
Guía 01 - Problema 2
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Guía 01,
Tonali Jiménez
Guía 01 - Problema 15
Guía 01 - Problema 13a)
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Asael Meza,
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Guía 01
Guía 01 - Problema 03
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Guía 01,
Jesús Mauro
Guía 01 - Problema 13a)
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Tonali Jiménez
Guía 01 - Problema 13d)
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Alinee Sampablo,
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Guía 01
viernes, 24 de febrero de 2017
Guía 01 - Problema 01
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G01P01,
Guía 01,
Ulises De León
jueves, 23 de febrero de 2017
Plantilla Latex
Hola a todos:
Por cortesía de Tonali, aquí les dejo el código para realizar sus ejercicios en Latex. Copien y Peguen TODO.
Saludos, nos vemos en clase.
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\documentclass[12pt]{report}
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\usepackage{amsmath}
\usepackage{amscd}
\usepackage{amsthm}
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\textwidth = 18cm
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%AQUÍ VA EL NOMBRE
\fancyhead[RE,LO]{\bfseries{Tonali Jiménez}}
\fancyhead[LE,RO]{\bfseries{\today}}
\fancyfoot[RE,RO]{\bfseries{Cálculo Diferencial e Integral II}}
\fancyfoot[LE,LO]{\bfseries{Semestre 2017-2}}
\newenvironment{pba}{\noindent\textbf{Prueba:}}{\begin{flushright} $\square$ \end{flushright}}
\newenvironment{sol}{\noindent\textbf{Solución:}}{\begin{flushright} $\square$ \end{flushright}}
\newenvironment{dem}{\noindent\textbf{Demostración:}}{\begin{flushright} \rule{1ex}{1ex} \end{flushright}}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\begin{document}
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\begin{document}
\begin{description}
\item[Problema 13.] El criterio de integrabilidad (Teorema 2 del Capítulo 13 de Spivak) dice:
Sea $f: [a,b] \to \R$ una función acotada.
$f$ es integrable en $[a,b]$ si y solo si $ \forall \varepsilon >0$ existe $P_{\varepsilon}$ partición de $[a,b]$ tal que
$$U(f,P_\varepsilon)-L(f,P_\varepsilon) < \varepsilon$$
Usar este criterio para demostrar que cada una de las siguientes funciones es integrable en el intervalo cerrado indicado. Calcular la integral cuando sea posible.
\end{description}
\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)= 3x^{2}+1$, $ \forall x \in [0,1] $
\end{enumerate}
\begin{description}
\item[Solución:]
\end{description}
\begin{eqnarray*}
f: [0,1] &\to& \R \\
x &\mapsto& 3x^2+1
\end{eqnarray*}
%%% OJO: AQUÍ ¿CUÁL ES EL PRIMER TÉRMINO DE LA PARTICIÓN?
Sea $\varepsilon > 0$ y $P= \left\{t_{i} \in \R \mid t_{i}=\frac{i(b-a)}{n}+a, \forall 1 \leq i \leq n \right\}$ una partición regular de $[a,b]$.
%%% OJO: AQUÍ ¿CUÁL ES EL PRIMER TÉRMINO DE LA PARTICIÓN?
Para este caso, $a=0$ y $b=1$ por lo que la partición nos queda
$$ P= \left\{ t_{i}\in \mathbb{R} \mid t_{i}= \dfrac{i}{n}, \forall 1 \leq i \leq n \right\}$$
Notemos que:
\begin{description}
\item[Observación 1:] Tenemos que $\forall 1 \leq i \leq n$
\begin{eqnarray*}
A_{i} &=& \lbrace y\in\mathbb{R}\mid y=f(x), x\in[t_{i-1},t_{i}]\rbrace \\
&=& \lbrace y\in\mathbb{R}\mid y=3x^{2}+1, t_{i-1}\leq x \leq t_{i} \rbrace \\
&=& \lbrace y\in\mathbb{R}\mid y=3x^{2}+1, 3(t_{i-1})\leq 3x \leq 3(t_{i}) \rbrace \\
%%% EN EL CÁLCULO DE A_i, ¿Cómo pases de este renglón al siguiente?
&=& \lbrace y\in\mathbb{R}\mid y=3x^{2}+1, 3(t_{i-1})^{2}\leq 3x^{2} \leq 3(t_{i})^{2} \rbrace \\
&=& \lbrace y\in\mathbb{R}\mid y=3x^{2}+1, 3(t_{i-1})^{2}+1 \leq 3x^{2}+1 \leq 3(t_{i})^{2}+1 \rbrace \\
&=& [3(t_{i-1})^{2}+1, 3(t_{i})^{2}+1]
\end{eqnarray*}
Donde $ t_{i-1}=\dfrac{i-1}{n} $ y $ t_{i}=\dfrac{i}{n} $
%%% AQUÍ; puedes hacer la observación 1 o pasar directamente a lo que escribes a continuación
Entonces, como la función es creciente, %%% ¿por qué?
encontraremos el ínfimo y el supremo de la función en sus extremos; es decir, $\inf(A_{i})=3\left (\dfrac{i-1}{n}\right )^{2}+1 $ y $ \sup(A_{i})= 3\left (\dfrac{i}{n}\right)^{2}+1$
\end{description}
Ahora, calculemos $L(f,P)$ y $U(f,P)$:
\begin{eqnarray*}
L(f,p) &=& \sum_{i=1}^{n} \inf(A_{i})(t_{i} - t_{i-1}) = \sum_{i=1}^{n} \inf(A_{i})\left(\dfrac{i}{n} - \dfrac{i-1}{n}\right) \\
&=& \sum_{i=1}^{n} \inf(A_{i})\left(\dfrac{1}{n}\right) = \dfrac{1}{n} \left(\sum_{i=1}^{n} \inf(A_{i})\right) \\
&=& \dfrac{1}{n} [\sum_{i=1}^{n} 3(\dfrac{i-1}{n})^{2}+1] \\
&=& \dfrac{3}{n^{3}} [\sum_{i=1}^{n} (i-1)^{2}+1] \\
%%% ¡AQUÍ ESTA EL ERROR!, Factorisaste un tres mal, ¿no? A partir de aquí debes tener mucho cuidado con los paréntesis, pues hay muchos errores desde aquí...
&=& \dfrac{3}{n^{3}} [\sum_{i=1}^{n} (i-1)^{2}+1] \\
&=& \dfrac{3}{n^{3}} [\sum_{i=1}^{n} (i-1)^{2} + \sum_{i=1}^{n} 1] \\
&=& \dfrac{3}{n^{3}} [\sum_{i=1}^{n} (i-1)^{2} + n ] \\
&=& \dfrac{3}{n^{3}} [\sum_{j=0}^{n-1} j^{2} + n] \\
&=& \dfrac{3}{n^{3}} [\dfrac{(n-1)(n-1+1)(2(n-1)+1}{6} + n] \\
&=& \dfrac{3}{n^{3}} [\dfrac{(n-1)(n)(2n-1)}{6} + n] \\
&=& \dfrac{3}{n^{3}} [\dfrac{(n-1)(n)(2n-1)+6n}{6}] \\
&=& \dfrac{3[(n-1)(n)(2n-1)+6n]}{6n^{3}} \\
&=& \dfrac{3[(n^{2}-n)(2n-1)+6n]}{6n^{3}} \\
&=& \dfrac{3[(2n^{3}-n^{2}-2n^{2}+n+6n)]}{6n^{3}} \\
&=& \dfrac{3[(2n^{3}-3n^{2}+7n)]}{6n^{3}} \\
&=& \dfrac{6n^{3}-9n^{2}+21n}{6n^{3}}
\end{eqnarray*}
\end{document}
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jueves, 9 de febrero de 2017
Recursos LaTeX
Hola a todos:
Aquí les dejamos el enlace en el que pueden localizar los recursos para LaTeX, que informa la facultad:
http://computo.fciencias.unam.mx/latex.html
De cualquier forma, si necesitan algún apoyo, no duden en comentárnoslo.
Saludos.
Aquí les dejamos el enlace en el que pueden localizar los recursos para LaTeX, que informa la facultad:
http://computo.fciencias.unam.mx/latex.html
De cualquier forma, si necesitan algún apoyo, no duden en comentárnoslo.
Saludos.
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